Denklemler

Matematik dersinin bölünlerinden biri olan denklemler içerdikleri bilinmeyen sayılarına göre adlandırılırlar. Örneğin denklemimizde iki tana bulunması gereken değer varsa ve bunlardan birinin verilen verilen değerine karşı diğer bilinmeyeni bulmamız isteniyorsa bir tanane bilinmeyen olduğu için denklemimiz birinci derecedendir, Matematik dersleri her nedense fazla sevilmeyen dersler arasındadır. Aslında bu durum pek de iyi değil, çünkü her pozitif bilimin matematiğe ihtiyacı vardır. Kısaca matemetik olmadan hayat olmaz :D

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

a 0 olmak üzere ax +b=0 şeklindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x sayısına denklemin kökü, bu kökün oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir.

ax+b=0 ise sayısı denklemin köküdür.

Çözüm kümesi:

Ç= olur.

Örnekler:

1) 6x +12 =0 denkemini çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

6x= -126x+12=0
x= x=-2 Ç= olur.
2)-5x + 6 + x = 1 –x + 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

-5x+ 6+ x =1 –x +8
-4x + 6 = -x + 9
-4x +x = 9-6
-3x=3
x= -1 Ç=
3) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çöm: denklemde paydası eşitlenir:

4) x-{2x-[x+1-(3x-5)]} = 3 ise x kaçtır?
Çözüm:

[x+1-3x+5]
[-2x+6]
{2x+2×-6}
x-4x+6 = 3
x= 1 Sonuç: 1-3x =

5) 9(1-2x) – 5(2-5x) = 20 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm:

9(1-2x) – 5(2-5x) = 20
9-18×-10+25x = 20
7×-1= 20
7x = 21
x = 3
Sonuç: 3

6) x 2 x 1
—– + —– = —– + 1—– denkleminin çözüm kümesi nedir?
3 5 5 3

Çözüm:
x 2 x 4
—– + —– = —– + —–
3 5 5 3
(5) (3) (3) (5)

5x+6 3x+20
——- = ——- = 5x + 6 = 3x+20
15 15

x = 7 Sonuç: 72x = 14

7) Kendisine katı eklendiğinde 72 eden sayı kaçtır?

Çözüm:

=
8) 2x+5=1 ise “x” kaçtır?

Çözüm:
2x = -4
Sonuç = {-2}x = -2

9) Toplamları 77 olan iki sayıdan birinin 3 katı, aynı sayının 4 katıyla toplamına eşittir.Bu Sayıların Küçük Olanı Kaçtır?

Çözüm:

3x+4x = 77
7x = 77
x = 7
3x = 33 Sonuç = {33}

10) Bu denklemdeki x’ in değerini bulunuz.
Çözüm:

x = 5 Sonuç = {5}

11) “x” in değerini bulunuz.
Çözüm:

– 45 = 5×-35
5x = -10
x = -2

Sonuç = {-2}

12) “x” in değerini bulunuz.

Çözüm:

3×-5 = -20
3x = -15
x = -5 Sonuç = {-5}

13) denklemini ve koşuluyla x’i bulunuz.
Çözüm

x=-1 fakat (x 1 ve x koşulundan dolayı

Ç=Ǿdir

14) için x ’in değeri kaçtır?
Çözüm
x=3 (x 3 koşulundan dolayı )

Ç=Ǿdir

3x – 4 = 23 denkleminde, bilinmeyen “x” tir. x in kuvveti “1” (Kuvveti 1 olan ifadelerde kuvvetin yazılmadığını hatırlayınız.) olduğundan, bu denklem, birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir.
Bunun gibi;
y + 5 = 8 ve 4k + 6 = 26 denklemleri de birinci dereceden bir bilinmeyenli birer denklemdir. Bu denklemlerin bilinmeyenleri, sıra ile y ve k dir.
Genel olarak; a, b, c Î R ve a ¹ 0 olmak üzere,
ax + b = c şeklindeki denklemlere, birinci dereceden bir bilinmeyenli denk*lem denir. Denklemi doğru yapan değerlerin oluşturduğu kümeye, denklemin çözüm kümesi denir ve Ç ile gösterilir.

Örnek
x – 13 = 23 denklemini gerçek sayılar kümesinde çözelim ve çözüm kümesi*ni bulalım:
x – 13 = 32 denkleminde (-13) ün toplama işlemine göre tersi olan (+13) ü eşitliğin her iki yanına ekleyelim:
x – 13 + (+13) = 23 + (+13)
0
x = + 39 olur. Çözüm kümesini Ç ile göstermiştik.
Ç = {+39} bulunur.
x = + 39 sayısının x -13 = 23 denklemini sağlayıp sağlamadığını kontrol ede*lim:
x = + 39 için; x- 13 = 23
39-13 = 23
23 = 23 olduğundan, denklemin çözümü doğrudur.

Örnek
x + 8 = 19 denklemini çözelim ve çözüm kümesini bulalım:
x + 8 = 19 denkleminde, (+ 8) in toplama işlemine göre tersi olan (-8) i denk*lemin her iki yanına ekleyelim:
x + 8= 19
x + 8 + (-8) = 19 + (-8)
0
x = 11 olur. Ç = {+ 11} bulunur.
Bir denklemde eşitliğin her iki tarafına aynı gerçek sayı eklenirse, eşitlik bozul*maz. Yani x = y ise, x + k = y + k olur.

Örnek
3x = 54 denklemini çözelim ve çözüm kümesini bulalım:
3x = 54 denkleminde, 3 ün çarpma işlemine göre tersi olan ile denklemin her iki yanını çarpalım:
3x = 54

x = 18 olur.
Ç = {18} bulunur.
Bir denklemde eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı bir gerçek sayı ile çarpılırsa, eşitlik bozulmaz. Yani k ¹ 0 için,
x = y ise k . x = k . y olur.
4x +7 = 67 ve 3x – 8 = 55 denklemlerinin çözüm kümelerini bulalım:

4x + 7 = 67 3x – 8 = 55
4x + 7 + (-7) = 67 + (-7) 3x – 8 + (+8) = 55 + (+8)
4x = 60 3x = 63

x = 15 olur. x = 21 olur.
Ç = {+15} bulunur. Ç = {+21} bulunur.

Yukarıdaki denklemlerin çözümleri, aşağıdaki gibi de yapabiliriz. İnceleyiniz.
4x + 7 = 67 3x – 8 = 55
4x = 67 – 7 3x = 55 + 8
4x = 60 3x = 63
x = x =
x = 15 olur. Ç = {+15} bulunur. x = 21 olur. Ç = {+21} bulunur.

Örnek
4(x+5) + 12 = 152 denkleminin çözüm kümesini bulalım:
4(x+5) + 12 = 152
4x + 20 + 12 = 152 (çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özeliğinden)
4x + 32 = 152
4x + 32 + (-32) = 152 + (-32)
4x = 120

x = 30 olur.
Ç = {+30} bulunur.

Örnek
3x – 8 = 16 denkleminin çözüm kümesini R de bulalım ve sağlamasını yapalım:
3x – 8 = 16 Sağlama:
3x – 8 + (+8) = 16 + 8 x = 8 için; 3 . 8 – 8 = 16
24 – 8 = 16
x = 8 olur. 16 = 16 olduğundan,
denklemin çözümü doğrudur.
Ç = {8} bulunur.

Problemlerin Denklem Kurarak Çözümü
Problem: Özer’in yaşının 5 eksiğinin 4 katı 44 tür. Özer kaç yaşındır?
Çözüm:
Özer’in yaşı x olsun.
Verileri matematiksel ifade ile (denklem olarak) yazalım:
Özer’in yaşının 5 eksiği, x – 5 olur. Bunun 4 katı, 4(x-5) biçimde yazılır. Denklem, 4(x-5) = 44 olur.
4(x-5) = 44
4x – 20 = 44
4x – 20 + (+20) = 44 + (+20)

Ç = {16} bulunur.
Özer’in yaşı 16 dır.

Problem: Koray, Elif’ten 35 yaş büyüktür. Koray ile Elif’in yaşları toplamı 47 olduğuna göre, her biri kaç yaşındadır?
Çözüm
Elif’in yaşı x dersek; Koray’ın yaşı, x + 35 olur.
Elif’in Yaşı Koray’ın Yaşı Yaşları Toplamı
x x + 35 47
Problemin denklemi, x + x + 35 = 47 ve 2x + 35 = 47 olur.
Şimdi de denklemi çözelim:
2x + 35 + (-35) = 47 + (-35)

x = 6 olur.
O halde; Elif’in yaşında, Koray ise, 6 + 35 = 41 yaşındadır.

Problem: Bir sayının 8 katının 5 fazlası 101 dir. Bu sayı kaçtır?
Çözüm
Bilinmeyen Sayı 8 Katı 8 Katının 5 Fazlası
x 8x 8x + 5
Denklemi kurarak çözüm kümesini bulalım:
8x + 5 = 101 denklemi kurulur.
8x + 5 = 101
8x + 5 + (-5) = 101 + (-5)
x = 12 dir. Sayı 12 olarak bulunur.
Sağlama
x = 12 için, 8x + 5 = 101
8 . 12 + 5 = 101
96 + 5 = 101 101 = 101 olur. Öyle ise, denklemin çözümü doğrudur.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik

Eşitsizlik Kavramı
(-14) ve (+5) tam sayılarını karşılaştıralım:
O halde, bu iki sayı arasındaki küçüklük veya büyüklük ilişkisini,
-14 < +5 veya +5 > -14 şeklinde yazarız.
a. 7 ile 5 i karşılaştıralım: ç. 0 ile 8 i karşılaştıralım:
5 < 7 veya 7 > 5 olur. 0 < 8 veya 8 > 0 olur.

b. -4 ile -16’yı karşılaştıralım: d. -1 ile 0 ı karşılaştıralım:
-4 > -16 veya -16 < -4 olur. -1 < 0 veya 0 > -1 olur.

c. 22 ile 53 ü karşılaştıralım: e. -7 ile +1 ı karşılaştıralım:
22 < 53 veya 53 > 22 olur. -7 < +1 veya +1 > -7 olur.

Genel olarak; a, b Î R olmak üzere,
a – b > 0 ise a > b olur.
a – b < 0 ise a < b olur.

Örnek
a = +37, b = – 28 tam sayılarını karşılaştıralım:
(+37) – (-28) = (+37) + (+38) = (+75) olur. (+75) > 0 ve a – b > 0 dır.
O halde, (+37) > -28 dir.

Örnek
a = +9, b = +17 tam sayılarını karşılaştıralım:
(+9) – (+17) = (+9) + (-17) = (-6) olur. (-6) < 0 ve a – b < 0 dır.
O halde, +9 < +17 olur.

Aşağıdaki önermeleri inceleyiniz.
a) 5x – 3 > 22 c) 2x + 6 < 0 d) x + 9 > 0 f) x – 2 ³ 0
b) 2x – 7 > 0 ç) 6x – 5 < 19 e) 5(x + 4) < 0 f) 3x + 1 £ 7
Yukarıdaki önermelerin her biri, birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliktir.

Örnek
8x + 9 > 0, 8x + 9 < 0, 8x + 9 ³ 0 veya 8x + 9 £ 0 ifadelerinin her biri, birinci dereceden bir bilinmeyenli bir eşitsizliktir.

Eşitsizliklerin Çözümü
x Î R için x > 4 eşitsizliğin çözüm kümesini yazalım ve sayı doğrusunda gösterelim:
Ç = {+4 ten büyük gerçek sayılar} dır.

Örnek
x Î R için x < 5 eşitsizliğin çözüm kümesini yazalım ve sayı doğrusunda gösterelim:
Ç = {+5 ten büyük gerçek sayılar} dır.

Örnek
x Î R için x ³ -5 eşitsizliğin çözüm kümesini yazalım ve sayı doğrusunda gösterelim:
Ç = {-5 ve -5 ten büyük gerçek sayılar} dır.

Örnek
x Î R için x £ -2 eşitsizliğin çözüm kümesini yazalım ve sayı doğrusunda gösterelim:
Ç = {-2 ve -2 ten büyük gerçek sayılar} dır.

Örnek
x Î R olmak üzere, 3x – 4 = 11 denklemi ile 3x – 4 > 11 eşitsizliğinin çözüm kümelerini bulup, aralarındaki farklılığı sayı doğrusu üzerinde gösterelim:
3x – 4 = 11 denklemini çözelim:
3x – 4 + (+4) = 11 + (+4)
.3x = 15.
x = 5 ve Ç = {+5} olur.

Şimdi de 3x – 4 > 11 eşitsizliği çözelim:
3x – 4 > 11
3x – 4 + (+4) = 11 + (+4)
.3x = 15.
x > +5 ve Ç = {+5 ten büyük gerçek sayılar} dır.

Örnek
x Î R olmak üzere, x < +5, x > 2, x ³ -1, x < -4, x > -3, x £ +3 eşitsizliklerini doğru yapan değerleri sayı doğrusu üzerinde gösterelim ve çözüm kümelerini gerçek sayılarda sembol kullanarak yazalım:

x < +5 ve
Ç = {+5 ten küçük gerçek sayılar} dır.

x > 2 ve
Ç = {+2 ten büyük gerçek sayılar} dır.

x ³ -1 ve
Ç = {-1 ve -1 den büyük gerçek sayılar} dır.

x < -4 ve
Ç = {-4 ten küçük reel sayılar} dır.

x > -3 ve
Ç = {-3 ten büyük gerçek sayılar} dır.

x £ +3 ve
Ç = {+3 ve +3 ten küçük gerçek sayılar} dır.

Örnek
x Î R olmak üzere, x < -3, x > +3 eşitsizliklerinin çözüm kümesini aynı sayı doğrusu üzerinde gösterelim:

x < -3 eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç= {-3 ten küçük gerçek sayılar}dır.
x < +3 eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç= {+3 ten büyük gerçek sayılar}dır.

Örnek
x Î R olmak üzere, x £ -4, x ³ +4 eşitsizliklerinin çözüm kümesini aynı sayı doğrusu üzerinde gösterelim:

x £ -4 eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç= {-4 ve -4’ten küçük gerçek sayılar}dır.
x ³ +4 eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç= {+4 ve +4’ten büyük gerçek sayılar}dır.

Örnek
Aşağıdaki sayı doğrusunda çözüm kümesi gösterilen eşitsizliği sembol kullanarak yazalım:

Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
-5 < +4 eşitsizliğin her iki yanına, (+8) i ekleyelim.
-5 < +4
(-5) + (+8) < (+4) + (+8)
+3 < +12 dir.
+3 > -7 eşitsizliğinin her iki yanına, (-9) u ekleyelim:
+3 > -7
(+3) + (-9) > (-7) + (-9)
-6 > -16 dır.
+25 > -12 eşitsizliğinin her iki yanına, (+4) ü ekleyelim:
+25 > -12
(+25) + (+4) > (-12) + (+4)
+29 > -8 dir.
-6 < -2 eşitsizliğinin her iki yanına, (-5) i ekleyelim:
-6 < -2
(-6) + (-5) < (-2) + (-5)
-13 < -7 dir.

Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
-7 < -4 eşitsizliğin her iki yanını, (+5) ile çarpalım:
-7 < -4
(-7) x (+5) < (-4) x (+5)
-35 < -20 dir.
+6 > -5 eşitsizliğin her iki yanını, (+3) ile çarpalım:
+6 > -5
(+6) x (+3) > (-5) x (+3)
+18 > -15 dir.
(+7) < (+11) eşitsizliğin her iki yanını, (+8) ile çarpalım:
(+7) < (+11)
(+7) x (+8) < (+11) x (+8)
+56 < +88 dir.

Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
+15 > +12 eşitsizliğin her iki yanını, (-4) ile çarpalım:
+15 > +12
(+15) x (-4) < (+12) x (-4)
-60 < -48 dir.
-9 < -3 eşitsizliğin her iki yanını, (-5) ile çarpalım:
-9 < -3
(-9) x (-5) > (-3) x (-5)
+45 > +15 dir.

Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
+12 > +4 eşitsizliğin her iki yanını, (+4) ile bölelim:
+12 > +4
(+12) : (+4) > (+4) : (+4)
+3 > +1 dir.
-36 < -9 eşitsizliğin her iki yanını, (+9) ile bölelim:
-36 < -9
(-36) : (+9) < (-9) : (+9)
-4 < -1 dir.

Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
-24 < -6 eşitsizliğin her iki yanını, (-6) ile bölelim:
-24 < -6
(-24) : (-6) > (-6) : (-6)
+4 > +1 dir.
+48 > +16 eşitsizliğin her iki yanını, (-16) ile bölelim:
+48 > +16
(+48) : (-16) < (+16) : (-16)
-3 < -1 dir.
Örnek
x – 4 < 3 eşitsizliğinin kümesini bulalım ve sayı doğrusu üzerinde gösterelim:
x – 4 < 3
x – 4 + (+4) < 3 + (+4)
x < +7 ve Ç = {+7 den küçük gerçek sayılar} dır.

Örnek
4x – 16 < +40 eşitsizliğinin kümesini bulalım ve sayı doğrusu üzerinde gösterelim:
4x – 16 < +40
4x – 16 + (+16) < (+40) + (+16)
.4x < (+56).
x < +14 ve Ç = {+14 ten küçük gerçek sayılar} dır.

Örnek
3x – 4 > 11 eşitsizliğinin kümesini bulalım ve sayı doğrusu üzerinde gösterelim:
3x – 4 > 11
3x – 4 + (+4) > 11 + (+4)
.3x > (+15).
x > +5 ve Ç = {+5 ten büyük gerçek sayılar} dır.